Question

13．已知曲线$y=\frac{|x|}{e^x}$在x=-1处的切线和它在x=x₀（x₀＞0）处的切线互相垂直，设${x_0}∈（\frac{m}{4}，\frac{m+1}{4}），m∈Z$，则m=2．

Answer 1

分析 求出x＜0的函数的导数，可得在x=-1处的切线斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得在x=x₀（x₀≠0）处的切线斜率，求出x＞0的函数的导数，可得切线的斜率，构造函数g（t）=te^t-$\frac{1}{2}$，求出导数，运用零点存在定理，即可判断m=2．

解答 解：由$y=\frac{|x|}{e^x}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{{e}^{x}}，x＞0}\\{-\frac{x}{{e}^{x}}，x＜0}\end{array}\right.$，
得y′=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{{e}^{x}}，x＞0}\\{\frac{x-1}{{e}^{x}}，x＜0}\end{array}\right.$．
∴y′|_x=-1=-2e，$y′{|}_{x={x}_{0}}=\frac{1-{x}_{0}}{{e}^{{x}_{0}}}$，
则$-2e•\frac{1-{x}_{0}}{{e}^{1-{x}_{0}}}=-1$，∴（1-x₀）e^1-x₀=$\frac{1}{2}$，
设t=1-x₀，即有te^t=$\frac{1}{2}$，
令g（t）=te^t-$\frac{1}{2}$，g′（t）=（1+t）e^t，
当m=0时，x₀∈（0，$\frac{1}{4}$），t∈（$\frac{3}{4}$，1）；
当m=1时，x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$），t∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$）；
当m=2时，x₀∈（$\frac{1}{2}$，$\frac{3}{4}$），t∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）；
由g（$\frac{1}{4}$）=$\frac{1}{4}{e}^{\frac{1}{4}}$-$\frac{1}{2}$＜0，g（$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{2}{e}^{\frac{1}{2}}$-$\frac{1}{2}$＞0，
g（$\frac{3}{4}$）=$\frac{3}{4}{e}^{\frac{3}{4}}$-$\frac{1}{2}$＞0，g（1）=e-$\frac{1}{2}$＞0，
且g（t）在（$\frac{1}{4}$，1）递增，可得g（t）在（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）内只有一解，
故m=2成立．
故答案为：2．

点评 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题．