Question

20．已知x=$\frac{π}{12}$是函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f（x）的图象向右平移$\frac{3π}{4}$个单位后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最小值为（　　）

• A． -2
• B． -1
• C． -$\sqrt{2}$
• D． -$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的解析式．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上的最小值．

解答 解：已知x=$\frac{π}{12}$是函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin（2x+φ+$\frac{π}{6}$）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，
∴2×$\frac{π}{12}$+φ+$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{6}$，即f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）．
将函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的图象向右平移$\frac{3π}{4}$个单位后，
得到函数g（x）=2sin[2（x-$\frac{3π}{4}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin（2x-$\frac{7π}{6}$）=2sin（2x-$\frac{7π}{6}$）=-2sin（2x-$\frac{π}{6}$）的图象，
在[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{6}$]上，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{2π}{3}$，$\frac{π}{6}$]，故当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，g（x）取得最小值为-1，
故选：B．

点评 本题主要考查两角和差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．