Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$bc，且a=5．
（1）求△ABC的面积的最大值，并判断此时△ABC的形状；
（2）若tanB=$\frac{3}{4}$，$\overrightarrow{CB}$=λ$\overrightarrow{CD}$（λ＞0），|$\overrightarrow{AD}$|=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （1）根据△ABC的面积$S=\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}bcsinA$便可得出A=90°，从而根据正弦定理可得到b=5sinB，c=5sinC，这便得出$S=\frac{25}{4}sin2B$，这样即可求出△ABC的面积的最大值，并判断出此时△ABC的形状；
（2）根据$tanB=\frac{3}{4}，A=90°$便可得出b=3，c=4，从而$cosC=\frac{3}{5}$，在△ACD中，由余弦定理可得$\frac{32}{5}=9+C{D}^{2}-2•3•CD•\frac{3}{5}$，这样便可解出CD，从而得出λ的值．

解答 解：（1）$S=\frac{1}{2}bc=\frac{1}{2}bcsinA$；
∴sinA=1，A=90°；
∴b=asinB=5sinB，c=asinC=5sinC；
∴$S=\frac{1}{2}•5sinB•5sinC=\frac{25}{2}sinBcosB$=$\frac{25}{4}sin2B$；
∴当2B=90°，即B=45°时，${S}_{max}=\frac{25}{4}$，此时△ABC为等腰直角三角形；
（2）∵$tanB=\frac{3}{4}，A=90°$；
∴$\frac{b}{c}=\frac{3}{4}$；
又b²+c²=25；
∴b=3，c=4；
∴$cosC=\frac{3}{5}$，AD²=AC²+CD²-2AC•CD•cosC；
∴$\frac{32}{5}=9+C{D}^{2}-2•3•CD•\frac{3}{5}$；
解得CD=1，或$\frac{13}{5}$；
∴λ=5，或$λ=\frac{25}{13}$．

点评 考查三角形的面积公式：$S=\frac{1}{2}bcsinA$，已知三角函数值求角，三角函数的定义，以及二倍角的正弦公式，正弦定理和余弦定理，向量数乘的几何意义．