Question

6．设数列{a_n}的各项均为正数，前n项和S_n满足S_n=$\frac{1}{6}$（a_n²+3a_n-4），则a_n=3n+1．

Answer 1

分析 由6S_n=a_n²+3a_n-4可推出$6{a_{n+1}}=a_{n+1}^2-a_n^2+3{a_{n+1}}-3{a_n}$，从而可得a_n+1-a_n=3，从而求{a_n}的通项公式．

解答 解：当n=1时，6S₁=a₁²+3a₁-4，
即a₁²-3a₁-4=0，得a₁=4或a₁=-1（舍）．
由题意得：6S_n+1=a_n+1²+3a_n+1-4，…①，
6S_n=a_n²+3a_n-4，…②
①-②得：$6{a_{n+1}}=a_{n+1}^2-a_n^2+3{a_{n+1}}-3{a_n}$，
即（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-3）=0，
∵a_n＞0，∴a_n+1-a_n=3，
∴{a_n}是以4为首项，3为公差的等差数列，
∴a_n=4+3（n-1）=3n+1．
故答案为：3n+1．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，解题时要认真审题，属于中档题．