Question

17．如图，已知在△ABC中，AC的中点为E，AB的中点为F，延长BE至P，使BE=EP，延长CF至Q，使CF=FQ．试用向量方法证明P，A，Q三点共线．

Answer 1

分析 根据题意，证明△AEP≌△CEB，得出∠EAP=∠ACB，从而证明AP∥BC且AP=BC，得出$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{BC}$；
同理证明$\overrightarrow{AQ}$=-$\overrightarrow{BC}$，即证向量$\overrightarrow{AQ}$与$\overrightarrow{AP}$共线，从而证明P，A，Q三点共线．

解答 证明：由题意可得AE=EC，BE=EP，∠AEP=∠BEC，
∴△AEP≌△CEB，∴∠EAP=∠ACB，∴AP∥BC且AP=BC，
即$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{BC}$；
同理△AFQ≌△BFC，∴∠FAQ=∠ABC，
∴AQ∥BC且AQ=BC，即$\overrightarrow{AQ}$=-$\overrightarrow{BC}$；
∴$\overrightarrow{AQ}$=-$\overrightarrow{AP}$，即向量$\overrightarrow{AQ}$与$\overrightarrow{AP}$共线，
又$\overrightarrow{AQ}$与$\overrightarrow{AP}$有公共点A，即P，A，Q三点共线．

点评 本题考查了用向量法证明三点共线的应用问题，涉及了三角形全等与直线平行的应用问题，是基础题．