Question

12．{a_n}为正项数列，a₁=2，a_n+1=a_n+2$\sqrt{{a}_{n}}$+1，求a_n的通项公式．

Answer 1

分析 根据数列递推式，变形可得数列{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以$\sqrt{2}$为首项，以1为公差的等差数列，由此可得结论．

解答 解：：a_n+1=a_n+2$\sqrt{{a}_{n}}$+1，
∴a_n+1=（$\sqrt{{a}_{n}}$+1）²，
∵{a_n}为正项数列，
∴$\sqrt{{a}_{n+1}}$=$\sqrt{{a}_{n}}$+1，
∴$\sqrt{{a}_{n+1}}$-$\sqrt{{a}_{n}}$=1，
∵a₁=2，
∴$\sqrt{{a}_{1}}$=$\sqrt{2}$，
∴{$\sqrt{{a}_{n}}$}是以$\sqrt{2}$为首项，以1为公差的等差数列，
∴$\sqrt{{a}_{n}}$=$\sqrt{2}$+（n-1），
∴a_n=（n-1）²+2+2$\sqrt{2}$（n-1）．

点评 本题考查数列递推式，考查等差数列的判定，考查学生的计算能力，属于中档题．