Question

2．数列{a_n}和{b_n}满足a₁=1，b₂=4，{a_n}为等差数列，且a₁b₁+a₂b₂+…a_nb_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹
（1）求a_n与b_n；
（2）记数列{$\frac{{2}^{{a}_{n}}}{（{b}_{n}+1）（{b}_{n+1}+1）}$}的前n和为T_n，求满足T_n≤$\frac{39}{120}$的最大n．

Answer 1

分析 （1）由a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹，代入n=1与n=2求得a₂=2；从而确定a_n=n；再作差可得a_nb_n=（n-1）2ⁿ⁺¹-（n-2）2ⁿ=n•2ⁿ，从而求b_n=2ⁿ；
（2）化简$\frac{{2}^{{a}_{n}}}{（{b}_{n}+1）（{b}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，从而利用裂项求和法求得T_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，从而解不等式即可．

解答 解：（1）当n=1时，a₁b₁=2，
故b₁=2，
当n=2时，a₁b₁+a₂b₂=2+（2-1）2³，
即2+4a₂=2+8，
故a₂=2；
故数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
故a_n=n；
∵a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹，
∴a₁b₁+a₂b₂+…+a_n-1b_n-1=2+（n-2）2ⁿ，
∴a_nb_n=（n-1）2ⁿ⁺¹-（n-2）2ⁿ=n•2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ；
（2）∵$\frac{{2}^{{a}_{n}}}{（{b}_{n}+1）（{b}_{n+1}+1）}$=$\frac{{2}^{n}}{（{2}^{n}+1）（{2}^{n+1}+1）}$
=$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，
∴T_n=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+$\frac{1}{5}$-$\frac{1}{9}$+…+（$\frac{1}{{2}^{n}+1}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$）
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$，
∴T_n≤$\frac{39}{120}$可化为$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$≤$\frac{39}{120}$，
即$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$≥$\frac{1}{120}$，
即2ⁿ⁺¹+1≤120，
故n+1≤6，
故n≤5；
故最大值为5．

点评 本题考查了整体思想与分类讨论的思想应用，同时考查了裂项求和法的应用．