Question

17．己知数列{a_n}中，a₁=3，且n∈N^*时，a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，求通项a_n．

Answer 1

分析 由题意可知$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，用累乘法即可求出数列的通项公式．

解答 解：∵a_n+1=$\frac{n}{n+2}$a_n，
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n}{n+2}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{2}{4}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$=$\frac{3}{5}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{n-1}{n+1}$
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$×$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$×$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}$×…×$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1}{3}$×$\frac{2}{4}$×…$\frac{n-1}{n+1}$=$\frac{1×2}{n（n+1）}$
∵a₁=3，
∴a_n=$\frac{6}{n（n+1）}$．

点评 本题考查了数列的递推式公式，以及累乘法求数列的通项公式，属于中档题．