Question

5．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinAsinBcosC=sin²C．
（Ⅰ）求$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{c^2}$的值；
（Ⅱ）若${a^2}=\frac{2}{3}{c^2}$，且△ABC的面积${S_{△ABC}}=2\sqrt{5}$，求c的值．

Answer 1

分析 （I）由已知及正弦定理可得$cosC=\frac{c^2}{ab}$，结合余弦定理即可解得$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{c^2}$的值．
（II）由${a^2}=\frac{2}{3}{c^2}$，a²+b²=3c²得${b^2}=\frac{7}{3}{c^2}$，由余弦定理可求cosC，利用同角三角函数基本关系式可求sinC，利用三角形面积公式即可计算得解．

解答 （本小题满分15分）
解：（ I）由已知sinA•sinB•cosC=sin²C得到$cosC=\frac{c^2}{ab}$． （2分）
又$cosC=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{2ab}$．（4分）
故$\frac{{{a^2}+{b^2}}}{c^2}$的值为3…（6分）
（ II）由${a^2}=\frac{2}{3}{c^2}$，a²+b²=3c²得${b^2}=\frac{7}{3}{c^2}$． （8分）
由余弦定理得$cosC=\frac{{3\sqrt{14}}}{14}$．   （10分）
故$sinC=\frac{{\sqrt{70}}}{14}$．    （12分）
故$S=\frac{1}{2}•\sqrt{\frac{2}{3}}c•\sqrt{\frac{7}{3}}c•sinC=2\sqrt{5}$，得$c=2\sqrt{3}$．（15分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．