Question

13．数列{a_n}前n项和S_n，满足$\frac{n+m}{2}$（a_n-a_m）=S_n-S_m，a₁=1．（m∈N^*，n∈N^*，且m≠n）
（1）令b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，求数列{b_n}的通项公式；
（2）m、k、n是不等的正整数，若a_m、a_k、a_n成等比数列．试证明m、k、n不构成等比数列．

Answer 1

分析 （1）由已知数列递推式得另一递推式，作差后可得a_n-a_n-1=a_m-a_m-1，即数列{a_n}为等差数列，再求出a₂，进一步求得公差，则数列{a_n}的通项公式可求，代入b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，得到数列{b_n}的通项公式；
（2）由a_m、a_k、a_n成等比数列，可得（2k-1）²=（2m-1）（2n-1），假设m、k、n构成等比数列，得到m=n，与已知m≠n矛盾．

解答 （1）解：由$\frac{n+m}{2}$（a_n-a_m）=S_n-S_m，得
$\frac{n+m-2}{2}（{a}_{n-1}-{a}_{m-1}）={S}_{n-1}-{S}_{m-1}$（n≥2，m≥2），
两式作差得：$\frac{n+m}{2}{a}_{n}-\frac{n+m}{2}{a}_{m}-\frac{n+m-2}{2}{a}_{n-1}+\frac{n+m-2}{2}{a}_{m-1}$=a_n-a_m，
即$\frac{n+m-2}{2}（{a}_{n}-{a}_{n-1}）=\frac{n+m-2}{2}（{a}_{m}-{a}_{m-1}）$，
∴a_n-a_n-1=a_m-a_m-1，
即数列{a_n}为等差数列，
又a₁=1，
在$\frac{n+m}{2}$（a_n-a_m）=S_n-S_m中，取m=1，n=2，
可得$\frac{3}{2}（{a}_{2}-1）={a}_{2}$，解得a₂=3，
∴d=a₂-a₁=2，
则a_n=1+2（n-1）=2n-1，
∴b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{2n-1}{n}=2-\frac{1}{n}$；
（2）证明：若a_m、a_k、a_n成等比数列，
则${{a}_{k}}^{2}={a}_{m}{a}_{n}$，即（2k-1）²=（2m-1）（2n-1），
∴2k²-2k=2mn-（m+n），
若m、k、n构成等比数列，则${k}^{2}=mn，k=\sqrt{mn}$，
可得$2\sqrt{mn}=m+n$，即m=n，与已知m≠n矛盾．
∴m、k、n不构成等比数列．

点评 本题考查等差关系的确定，考查了等差数列的通项公式的求法，考查等比数列的性质，是中档题．