Question

18．已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n=2（a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁）（n≥2，n∈N^*）则数列{a_n}的通项公式为_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 可求得当n≥2时，a_n+1=3a_n，且a₁=1，a₂=2；从而解得．

解答 解：∵a_n=2（a_n-1+a_n-2+…+a₂+a₁）=2S_n-1，
∴a_n+1=2（a_n+a_n-1+…+a₂+a₁）=2S_n，
两式作差可得，
a_n+1-a_n=2a_n，
故a_n+1=3a_n，
且a₁=1，a₂=2；
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
故答案为：_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了数列的通项与前n项和间的关系应用及分类讨论的思想应用．