Question

6．已知x∈R，向量$\overrightarrow{AB}=（-1，x+2），\overrightarrow{CD}=（x，1）$，则$\overrightarrow{CD}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影的最大值为2．

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{CD}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|}$，运用向量的数量积的坐标表示和向量的模的公式，结合二次函数的最值的求法，即可得到最大值．

解答 解：$\overrightarrow{CD}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影为$\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CD}}{|\overrightarrow{AB}|}$
=$\frac{-x+x+2}{\sqrt{1+（x+2）^{2}}}$=$\frac{2}{\sqrt{1+（x+2）^{2}}}$，
当x=-2时，1+（x+2）²取得最小值1，
可得$\overrightarrow{CD}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的投影的最大值为2．
故答案为：2．

点评 本题考查向量的投影的最值的求法，注意运用向量的模即二次韩寒说的最值的求法，属于中档题．