Question

11．已知函数f（x）=x²-2|x-a|（a∈R）．
（I）当a=0时，求方程f（x）=0的根；
（Ⅱ）当a＞0时，若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x-1）≥2f（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把a=0代入函数解析式，化为含有|x|的一元二次方程求解；
（Ⅱ）将不等式f（x-1）≥2f（x），化为（x-1）²-2|x-1-a|≥2x²-4|x-a|，即 4|x-a|-2|x-1-a|≥x²+2x-1对任意x∈[0，+∞）恒成立，对x讨论：（1）当0≤x≤a时，（2）当a＜x≤a+1时，（3）当x＞a+1时，去掉绝对值，由二次函数的最值求法，可得最大值，解不等式确定a的范围．

解答 解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=x²-2|x|=|x|²-2|x|=0，
解得：|x|=0或|x|=2，即x=0或x=±2；
（Ⅱ）将不等式f（x-1）≥2f（x），
化为（x-1）²-2|x-1-a|≥2x²-4|x-a|，
即 4|x-a|-2|x-1-a|≥x²+2x-1（*）对任意x∈[0，+∞）恒成立，
（1）当0≤x≤a 时，不等式（*）化为 x²+4x+1-2a≤0对0≤x≤a上恒成立，
g（x）=x²+4x+1-2a 在（0，a]为单调递增，
只需g（x）_max=g（a）=a²+2a+1=（a+1）²≤0，得a=-1（舍）；                   
（2）当a＜x≤a+1时，不等式（*）化为x²-4x+1+6a≤0对a＜x≤a+1上恒成立，
当0＜$a≤\frac{3}{2}$时，只需h（x）_max=h（a）=a²+2a+1≤0，得：a=-1（舍），
当a$＞\frac{3}{2}$时，只需h（x）_max=h（a+1）=a²+4a-2≤0，得$-2-\sqrt{6}≤a≤-2+\sqrt{6}$，与a$＞\frac{3}{2}$取交集，得a∈∅；
（3）当 x＞a+1时，不等式（*）化为x²+2a-3≤0对x＞a+1恒成立，
t（x）=x²+2a-3 在（a+1，+∞）单调递增，不满足x²+2a-3≤0对x＞a+1恒成立．
综上所述得，a的取值范围是∅．

点评 本题主要考查函数恒成立问题，涉及绝对值不等式求解，函数与方程的应用，分段函数以及一元二次函数的图象和性质，综合性较强，难度较大．