Question

15．无穷数列{a_n}中，a_n=（1-$\sqrt{3}$i）^-n（n∈N^*），则该数列中所有实数的和是$-\frac{1}{9}$．

Answer 1

分析 根据复数代数形式的混合运算化简a_n=（1-$\sqrt{3}$i）^-n，依次求出前六项找出规律，再由等比数列的前n项和公式、极限法，求出该数列中所有实数的和．

解答 解：因为（1-$\sqrt{3}$i）^-1=$\frac{1}{1-\sqrt{3}i}$=$\frac{1+\sqrt{3}i}{4}$，所以a_n=（1-$\sqrt{3}$i）^-n=$（\frac{1+\sqrt{3}i}{4}）^{n}$，
则${a}_{1}=\frac{1+\sqrt{3}i}{4}$，${a}_{2}=（\frac{1+\sqrt{3}i}{4}）^{2}$=$\frac{-1+\sqrt{3}i}{8}$，${a}_{3}={（\frac{1+\sqrt{3}i}{4}）}^{3}$=$-\frac{1}{8}$，
${a}_{4}={（\frac{1+\sqrt{3}i}{4}）}^{4}$=$-\frac{1}{8}$×$\frac{1+\sqrt{3}i}{4}$，${a}_{5}={（\frac{1+\sqrt{3}i}{4}）}^{5}$=$-\frac{1}{8}$×$\frac{-1+\sqrt{3}i}{8}$，
${a}_{6}={（\frac{1+\sqrt{3}i}{4}）}^{6}$=（$-\frac{1}{8}$）×（$-\frac{1}{8}$）=$（-\frac{1}{8}）^{2}$，…，
所以无穷数列{a_n}所有实数为：$-\frac{1}{8}$，${（-\frac{1}{8}）}^{2}$，${（-\frac{1}{8}）}^{3}$，…构成一个无穷的等比数列，
则该数列中所有实数的和S=$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{-\frac{1}{8}[1-（-\frac{1}{8}）^{n}]}{1+\frac{1}{8}}$=$-\frac{1}{9}$，
故答案为：$-\frac{1}{9}$．

点评 本题考查复数代数形式的混合运算，等比数列前n项和在复数中的应用，考查极限思想，是中档题．