Question

7．若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=$\frac{9}{2}$n²-$\frac{7}{2}$n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）对任意m∈N^*，将数列{a_n}中落入区间（9^m，9^2m）内的项的个数记为b_m，求数列{b_m}的前m项和T_m．

Answer 1

分析 （1）分类讨论，当n=1时，a₁=1，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=9n-8，从而解得；
（2）由9^m＜a_n＜9^2m化简可得$\frac{{9}^{m}}{9}$+1≤n≤$\frac{{9}^{2m}}{9}$，从而可得b_m=9^2m-1-9^m-1，从而求其前m项和T_m．

解答 解：（1）当n=1时，a₁=S₁=$\frac{9}{2}$-$\frac{7}{2}$=1，
当n≥2时，
a_n=S_n-S_n-1=$\frac{9}{2}$n²-$\frac{7}{2}$n-（$\frac{9}{2}$（n-1）²-$\frac{7}{2}$（n-1））
=9n-8，
a₁=1也满足a_n=9n-8，
故数列{a_n}的通项公式a_n=9n-8；
（2）∵9^m＜a_n＜9^2m，
∴9^m＜9n-8＜9^2m，
∴$\frac{{9}^{m}+8}{9}$＜n＜$\frac{{9}^{2m}+8}{9}$，
又∵n∈N^*，
∴$\frac{{9}^{m}}{9}$+1≤n≤$\frac{{9}^{2m}}{9}$，
故b_m=$\frac{{9}^{2m}}{9}$-（$\frac{{9}^{m}}{9}$+1）+1=9^2m-1-9^m-1，
故T_m=（9-1）+（9³-9¹）+（9⁵-9²）+…+（9^2m-1-9^m-1）
=（9+9³+9⁵+…+9^2m-1）-（1+9+9²+…+9^m-1）
=$\frac{9（1-{9}^{2m}）}{1-{9}^{2}}$-$\frac{1（1-{9}^{m}）}{1-9}$
=$\frac{{9}^{2m+1}-10•{9}^{m}+1}{80}$．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及前n项和公式与通项公式的关系应用．