Question

4．△ABC是边长为1的等边三角形，已知向量$\vec a$，$\vec b$满足$\overrightarrow{{A}{B}}=\vec a+\vec b$，$\overrightarrow{{A}C}=\vec a-\vec b$，则下列结论错误的是（　　）

• A． $|{\vec a}|=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• B． $|{\vec b}|=\frac{1}{2}$
• C． $（{\vec a+\vec b}）•\vec a=-\frac{1}{4}$
• D． $\vec a⊥\vec b$

Answer 1

分析 可作图，取BC边的中点D，并连接AD，从而可以得出$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{b}$，从而有$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，这样即可求出$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow{b}|$和$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}$的值，从而便可找出错误的结论．

解答 解：A．如图，设边BC的中点为D，则：

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{a}=2\overrightarrow{AD}$，$|\overrightarrow{AD}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$|\overrightarrow{a}|=\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴该选项正确；
B．∵$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow b=\overrightarrow{CB，}|{\overrightarrow{CB}}|=1$，∴$|{\overrightarrow b}|=\frac{1}{2}$，∴该选项正确；
C.$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$；
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{a}=\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=1•\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$，∴该选项错误；
D．AD⊥BC，由前面$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{a}，\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}⊥（2\overrightarrow{b}）$，即$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，∴该选项正确．
故选：C．

点评 考查向量加法的平行四边形法则，向量的数乘运算，以及数量积的计算公式，余弦函数的定义，向量数乘的几何意义，向量垂直的概念．