Question

2．若a_n=3a_n-1+3ⁿ-1，n≥2，n∈N₊，a₁=5，若{$\frac{{a}_{n}+t}{{3}^{n}}$}是公差为1的等差数列，则t=$-\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 把已知数列递推式变形，然后利用累加法求得数列通项公式，结合{$\frac{{a}_{n}+t}{{3}^{n}}$}是公差为1的等差数列列式求得t值．

解答 解：由a_n=3a_n-1+3ⁿ-1，得$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}+1-\frac{1}{{3}^{n}}$，
即$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}=1-\frac{1}{{3}^{n}}$（n≥2），
∴$\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}-\frac{{a}_{1}}{3}=1-\frac{1}{{3}^{2}}$，
$\frac{{a}_{3}}{{3}^{3}}-\frac{{a}_{2}}{{3}^{2}}=1-\frac{1}{{3}^{3}}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{3}^{n-1}}=1-\frac{1}{{3}^{n}}$（n≥2），
累加得：$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}=\frac{{a}_{1}}{3}+（n-1）-\frac{\frac{1}{9}（1-\frac{1}{{3}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{5}{3}+n-1-\frac{1}{6}+\frac{1}{2•{3}^{n}}$=$\frac{1}{2}+n+\frac{1}{2•{3}^{n}}$，
∴${a}_{n}=\frac{2n+1}{2}•{3}^{n}+\frac{1}{2}$（n≥2）．
验证n=1时上式成立，
∴${a}_{n}=\frac{2n+1}{2}•{3}^{n}+\frac{1}{2}$．
由{$\frac{{a}_{n}+t}{{3}^{n}}$}是公差为1的等差数列，得：
$\frac{{a}_{2}+t}{9}-\frac{{a}_{1}+t}{3}=\frac{23+t}{9}-\frac{5+t}{3}=1$，解得：$t=-\frac{1}{2}$．
故答案为：$-\frac{1}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．