Question

【题目】如图，已知椭圆，点是抛物线的焦点，过点F作直线交抛物线于M，N两点，延长，分别交椭圆于A，B两点，记，的面积分别是，.

（1）求的值及抛物线的准线方程；

（2）求的最小值及此时直线的方程.

Answer 1

【答案】（1），准线方程为；（2）的最小值是2，此时直线的方程是．

【解析】

（1）由焦点坐标得可得抛物线方程，准线方程；

（2）显然直线的斜率存在，设直线方程为，，直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得，不妨设在第二象限，在第一象限，由在第四象限，在第三象限，设，，由坐标求出，

然后计算得，代入化简得，从而易得最小值及直线方程．

（1）由已知，，所以抛物线方程为，准线方程为．

（2）显然直线的斜率存在，设直线方程为，，

由得，所以，，

如图．不妨设在第二象限，在第一象限，由在第四象限，在第三象限，设，，

直线方程为，由得，，由，所以，，同理，

，

所以时，取得最小值2．此时直线方程为．