【题目】已知是无穷数列.给出两个性质:
①对于中任意两项,在中都存在一项,使;
②对于中任意项,在中都存在两项.使得.
(Ⅰ)若,判断数列是否满足性质①,说明理由;
(Ⅱ)若,判断数列是否同时满足性质①和性质②,说明理由;
(Ⅲ)若是递增数列,且同时满足性质①和性质②,证明:为等比数列.
【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详解解析;(Ⅲ)证明详见解析.
【解析】
(Ⅰ)根据定义验证,即可判断;
(Ⅱ)根据定义逐一验证,即可判断;
(Ⅲ)解法一:首先,证明数列中的项数同号,然后证明,最后,用数学归纳法证明数列为等比数列即可.
解法二:首先假设数列中的项数均为正数,然后证得成等比数列,之后证得成等比数列,同理即可证得数列为等比数列,从而命题得证.
(Ⅰ)不具有性质①;
(Ⅱ)具有性质①;
具有性质②;
(Ⅲ)解法一
首先,证明数列中的项数同号,不妨设恒为正数:
显然,假设数列中存在负项,设,
第一种情况:若,即,
由①可知:存在,满足,存在,满足,
由可知,从而,与数列的单调性矛盾,假设不成立.
第二种情况:若,由①知存在实数,满足,由的定义可知:,
另一方面,,由数列的单调性可知:,
这与的定义矛盾,假设不成立.
同理可证得数列中的项数恒为负数.
综上可得,数列中的项数同号.
其次,证明:
利用性质②:取,此时,
由数列的单调性可知,
而,故,
此时必有,即,
最后,用数学归纳法证明数列为等比数列:
假设数列的前项成等比数列,不妨设,
其中,(的情况类似)
由①可得:存在整数,满足,且 (*)
由②得:存在,满足:,由数列的单调性可知:,
由可得: (**)
由(**)和(*)式可得:,
结合数列的单调性有:,
注意到均为整数,故,
代入(**)式,从而.
总上可得,数列的通项公式为:.
即数列为等比数列.
解法二:
假设数列中的项数均为正数:
首先利用性质②:取,此时,
由数列的单调性可知,
而,故,
此时必有,即,
即成等比数列,不妨设,
然后利用性质①:取,则,
即数列中必然存在一项的值为,下面我们来证明,
否则,由数列的单调性可知,
在性质②中,取,则,从而,
与前面类似的可知则存在,满足,
若,则:,与假设矛盾;
若,则:,与假设矛盾;
若,则:,与数列的单调性矛盾;
即不存在满足题意的正整数,可见不成立,从而,
然后利用性质①:取,则数列中存在一项,
下面我们用反证法来证明,
否则,由数列的单调性可知,
在性质②中,取,则,从而,
与前面类似的可知则存在,满足,
即由②可知:,
若,则,与假设矛盾;
若,则,与假设矛盾;
若,由于为正整数,故,则,与矛盾;
综上可知,假设不成立,则.
同理可得:,从而数列为等比数列,
同理,当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.
由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负,不会同时出现正数和负数.
从而题中的结论得证,数列为等比数列.
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【题目】2020年春节突如其来的新型冠状病毒肺炎在湖北爆发,一方有难八方支援,全国各地的白衣天使走上战场的第一线,某医院抽调甲、乙两名医生,抽调、、三名护士支援武汉第一医院与第二医院,参加武汉疫情狙击战其中选一名护士与一名医生去第一医院,其它都在第二医院工作,则医生甲和护士被选在第一医院工作的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】共享单车又称为小黄车,近年来逐渐走进了人们的生活,也成为减少空气污染,缓解城市交通压力的一种重要手段.为调查某地区居民对共享单车的使用情况,从该地区居民中按年龄用随机抽样的方式随机抽取了人进行问卷调查,得到这人对共享单车的评价得分统计填入茎叶图,如下所示(满分分):
(1)找出居民问卷得分的众数和中位数;
(2)请计算这位居民问卷的平均得分;
(3)若在成绩为分的居民中随机抽取人,求恰有人成绩超过分的概率.
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【题目】如图,已知椭圆,点是抛物线的焦点,过点F作直线交抛物线于M,N两点,延长,分别交椭圆于A,B两点,记,的面积分别是,.
(1)求的值及抛物线的准线方程;
(2)求的最小值及此时直线的方程.
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【题目】已知椭圆的左,右两个焦点为、,抛物线与椭圆有公共焦点.且两曲线、在第一象限的交点的横坐标为.
(1)求椭圆和抛物线的方程;
(2)直线与抛物线的交点为、(为坐标原点),与椭圆的交点为、(在线段上),且.问满足条件的直线有几条,说明理由.
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【题目】某校高二年级进行选课走班,已知语文、数学、英语是必选学科,另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习. 现有甲、乙、丙三人,若同学甲必选物理,则下列结论正确的是( )
A.甲的不同的选法种数为10
B.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
C.乙同学在选物理的条件下选化学的概率是
D.乙、丙两名同学都选物理的概率是
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【题目】关于函数有下述四个结论:
①是偶函数;②的最大值为;
③在有个零点;④在区间单调递增.
其中所有正确结论的编号是( )
A.①②B.①③C.②④D.①④
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【题目】对n个不同的实数a1,a2,…,an可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成一个n!行的数阵.对第i行ai1,ai2,…,ain,记bi=-ai1+2ai2-3ai3+…+(-1)nnain,i=1,2,3…,n!.例如用1,2,3可得数阵如图,对于此数阵中每一列各数之和都是12,所以bl+b2+…b6=-12+2×12-3×12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成的数阵中,b1+b2+…b120等于( )
A.-3600B.-1800C.-1080D.-720
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