Question

【题目】已知函数f（x）＝xlnxx2﹣ax+1．

（1）设g（x）＝f′（x），求g（x）的单调区间；

（2）若f（x）有两个极值点x1，x2，求证：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】（1）g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；（2）见解析

【解析】

（1）先得到解析式，然后对求导，分别解和，得到其单调增区间和单调减区间；（2）由题可知x1，x2是g（x）的两零点，要证x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1＞1，只需证g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，设h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2，利用导数证明在（0，1）上单调递减，从而证明，即g（2﹣x1）＞g（x2），从而证明x1+x2＞2.

（1）∵f（x）＝xlnxx2﹣ax+1，

∴g（x）＝f'（x）＝lnx﹣x+1﹣a（x＞0），

∴g'（x）

令g'（x）＝0，则x＝1，

∴当x＞1时，g'（x）＜0；当0＜x＜1时，g'（x）＞0，

∴g（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+∞）；

（2）∵f（x）有两个极值点x1，x2，

∴x1，x2是g（x）的两零点，

则g（x1）＝g（x2）＝0，

不妨设0＜x1＜1＜x2，

∴由g（x1）＝0可得a＝lnx1﹣x1+1，

∵g（x）在（1，+∞）上是减函数，

∴要证x1+x2＞2，只需证x2＞2﹣x1＞1，

只需证g（2﹣x1）＞g（x2）＝0，

∵g（2﹣x1）＝ln（2﹣x1）﹣2+x1+1﹣（lnx1﹣x1+1）＝ln（2﹣x1）﹣lnx1+2x1﹣2，

令h（x）＝ln（2﹣x）﹣lnx+2x﹣2（0＜x＜1），

则，

∴h（x）在（0，1）上单调递减，

∴h（x）＞h（1）＝0，g（2﹣x1）＞0成立，

即g（2﹣x1）＞g（x2）

∴x1+x2＞2．