Question

已知在△ABC中，∠ACB=90°，
（1）若BC=3，AC=4，P是AB上的点，求点P到AC，BC的距离乘积的最大值；
（2）若△ABC的面积是4，求内切圆半径的范围．

Answer 1

分析：（1）设P到AC，BC的距离分别为m，n，即可得到P的坐标，根据A，B的坐标求出直线AB的方程，则点P在直线AB上，代入可得m，n的关系，利用基本不等式求解即可得到答案；
（2）设BC=a，CA=b，根据题意△ABC的面积是4，可得到ab的值，利用基本不等式求出△ABC的周长的取值范围，从而运用等面积法，得到内切圆半径的取值范围．

解答：解：（1）设P到AC，BC的距离分别为m，n，则P的坐标为（n，m），
∵BC=3，AC=4，
则A（4，0），B（0，3），
故由直线的截距式方程可得，直线AB的方程为

x

4

+

y

3

=1，
∵P是AB上的点，则

m

4

+

n

3

=1，
∴

m

4

+

n

3

=1≥2

mn 12

，
∴mn≤3，
∴点P到AC，BC的距离乘积的最大值3；
（2）设BC=a，CA=b，内切圆的半径为r，
∵△ABC的面积是4，则

1

2

ab=4，
∴ab=8，
∴△ABC的周长为BC+CA+AB=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

=4

2

+4，
由三角形的“等面积法”可得，

1

2

（a+b+c）r=4，
∴r=

8

a+b+ a2+b2

≤

8

4+4 2

=2

2

-2，
故内切圆半径的取值范围为（0，2

2

-2]．

点评：本题考查了直线的方程，基本不等式求最值，以及三角形的内切圆半径的问题．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．第（2）问中，运用了“等面积法”求解三角形内切圆的半径是常用的方法．属于中档题．