Question

如图，函数y=

x

3

+

3

x

的图象是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（　　）
①渐近线方程是y=

3

3

x和x=0；
②对称轴所在的直线方程为y=

3

x和y=-

3

3

x；
③实轴长和虚轴长之比为3：

3

；
④其共轭双曲线的方程为y=

x

3

-

3

x

．

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出函数y=

x

3

+

3

x

关于直线y=

3

3

x的对称解析式为

x2

3

-y2=1，研究其性质，即可得出结论．

解答： 解：函数y=

x

3

+

3

x

关于直线y=

3

3

x的对称解析式为

x2

3

-y2=1，其渐近线方程为y=

3

3

x和y=-

3

3

x，对称轴所在的直线方程分别为x=0，y=0，实轴长和虚轴长之比为3：

3

；其共轭双曲线的方程为

x2

3

-y2=-1，故
对于①y=

x

3

+

3

x

的渐近线方程是y=

3

3

x和x=0，正确；
对于②对称轴所在的直线方程为y=

3

x和y=-

3

3

x，正确；
对于③实轴长和虚轴长之比为3：

3

，正确；
对于④其共轭双曲线的方程为y=

x

3

-

3

x

，正确．
故选：D．

点评：本题考查双曲线的性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．