证明:正方体对角线与其不相交的面的对角线垂直．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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证明：正方体对角线与其不相交的面的对角线垂直．

考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系

专题：空间向量及应用

分析：如图所示，建立空间直角坐标系．要证明

AC1

⊥

，只要证明

AC1

•

=0即可．

解答： 证明：如图所示，建立空间直角坐标系．

不妨设正方体的棱长AB=1．
则A（0，0，0），B（0，1，0），D（1，0，0），C₁（1，1，1）．
∴

AC1

=（1，1，1），

=（-1，1，0）．
∵

AC1

•

=-1+1+0=0，
∴

AC1

⊥

．
即正方体对角线与其不相交的面的对角线垂直．

点评：本题考查了向量垂直与数量积的关系，属于基础题．

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如图，函数y=

的图象是双曲线，下列关于该双曲线的性质的描述中正确的个数是（　　）
①渐近线方程是y=

x和x=0；
②对称轴所在的直线方程为y=

x和y=-

x；
③实轴长和虚轴长之比为3：

；
④其共轭双曲线的方程为y=

．

A、1个

B、2个

C、3个

D、4个．

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某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如表）：

网购金额（单位：千元）	频数	频率
（0，0.5]	3	0.05
（0.5，1]	x	p
（1，1.5]	9	0.15
（1.5，2]	15	0.25
（2，2.5]	18	0.30
（2.5，3]	y	q
合计	60	1.00

若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过ξ千元的顾客定义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3：2．
（1）试确定x，y，p，q的值，并补全频率分布直方图（如图）．
（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．

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