Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足（2a+c）•

BC

•

BA

+c•

CA

•

CB

=0
（1）求角B的大小； 
（2）若b=2

3

，求a²+c²的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）根据向量的数量积运算，以及正弦定理即求角B的大小； 
（2）根据正弦定理分别求出a，b的值，利用三角函数的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）∵（2a+c）•

BC

•

BA

+c•

CA

•

CB

=0
∴（2a+c）•a•ccosB+c•a•bcosC=0
即（2a+c）cosB+bcosC=0
根据正弦定理得2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0，
即2sinAcosB+sin（B+C）=0，
∴2sinAcosB+sinA=0，
即cosB=-

1

2

，∴B=120°=

2π

3

．
（2）∵b²=a²+c²+2accos120°，
∴12=a²+c²-ac
（2）由正弦定理得：

a

sin?A

=

c

sin?C

=

b

sin?B

=

2 3

3 2

=4，
∴a=4sinA，c=4sinC，
∴a²+c²=16（sin²A+sin²C）=8（2sin²A+2sin²C）=8（1-cos2A+1-cos2C）
=16-8cos2A-8cos2（

π

3

-A）
=16-8cos2A-8（-

1

2

cos2A+

3

2

sin2A）
=16-4cos2A-4

3

sin2A
=16-8cos（2A-

π

3

），
∵B=

2π

3

，
∴0＜A＜

π

3

，
即0＜2A＜

2π

3

，
∴-

π

3

＜2A-

π

3

＜

π

3

，
∴-

1

2

＜cos（2A-

π

3

）≤1，
∴-4＜8cos（2A-

π

3

）≤8，
即-8≤-8cos（2A-

π

3

）＜4，
∴8≤16-8cos（2A-

π

3

）＜20，
8≤a²+c²＜20．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，考查学生的计算能力，综合性较强，难度较大．