Question

△ABC中，角A、B、C对边分别是a，b，c，且满足2

AB

•

BC

=（a+c+b）（a+c-b）．
（1）求角B的大小；
（2）求2

3

cos²

C

2

-sin（

4π

3

-A）的最大值，并求取得最大值时角A，C的大小．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）根据数量积的定义，结合余弦定理即可求角B的大小；
（2）利用三角函数的倍角公式，利用三角函数的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）∵2

AB

•

BC

=（a+c+b）（a+c-b）．
∴2accos（π-B）=（a+c）²-b²，
即-2accosB=a²+c²-b²+2ac，
∵b²=a²+c²-2accos?B，
∴a²+c²-b²=2accosB，
∴-2accosB=2accosB+2ac，
即-4cosB=2，
∴cosB=-

1

2

，即B=

2π

3

．
（2）2

3

cos²

C

2

-sin（

4π

3

-A）=

3

(1+cos?C)-sin?[

4π

3

-(

π

3

-C)]=

3

(1+cos?C)-sin?(π+C)=

3

+

3

cosC+sinC=

3

+2cos(C-

π

6

)，
∵B=

2π

3

，
∴0＜C＜

π

3

，
-

π

6

＜C-

π

6

＜

π

6

，
∴当C-

π

6

=0，即C=

π

6

时，2

3

cos²

C

2

-sin（

4π

3

-A）取得最大值

3

+2．
此时A=

π

3

-

π

6

=

π

6

．

点评：本题主要考查余弦定理的应用，以及三角函数的化简和性质，考查学生的计算能力．