Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l过点P（2，0），斜率为

4

3

，直线l和抛物线y²=2x相交于A、B两点，设线段AB的中点为M，求：
（1）|PM|； 
（2）|AB|．

Answer 1

考点：直线的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由于直线l过点P（2，0），斜率为

4

3

．设直线的倾斜角为α，tanα=

4

3

，sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
得到直线l的参数方程为

x=2+ 3 5 t y= 4 5 t

（t为参数），将直线的参数方程代入抛物线方程y²=2x中，
得到关于t的一元二次方程，设这个一元二次方程的两个根为t₁、t₂，得到根与系数的关系，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得到|PM|=

|t1+t2|

2

．
（2）利用弦长公式|AB|=|t₂-t₁|=

(t1+t2)2-4t1t2

即可得出．

解答： 解：（1）∵直线l过点P（2，0），斜率为

4

3

，
设直线的倾斜角为α，tanα=

4

3

，sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
∴直线l的参数方程为

x=2+ 3 5 t y= 4 5 t

（t为参数）（*）
∵直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程y²=2x中，
整理得8t²-15t-50=0，且△=15²+4×8×50＞0，
设这个一元二次方程的两个根为t₁、t₂，
由根与系数的关系，得t₁+t₂=

15

8

，t₁t₂=-

25

4

，
由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，
得|PM|=|

t1+t2

2

|=

15

16

．
（2）|AB|=|t₂-t₁|
=

(t1+t2)2-4t1t2

=

5

8

73

．

点评：本题考查了直线的参数方程的应用、参数的几何意义、中点坐标公式、弦长公式，考查了计算能力和推理能力，属于中档题．