Question

已知函数f（x）=ax³-3x²+3x（a＞0）
（1）当a≥1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在[1，3]的最大值为8，求a的值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的概念及应用

分析：（1）f′（x）=3ax²-6x+3，其判别式△=36-36a=36（1-a）≤0，由二次函数性质可知f′（x）≥0恒成立，由此可得单调区间；
（2）只需求得f（x）在[1，3]上的最大值，然后令其等于8可求a．由（1）知，a≥1时，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，从而可得其最大值f（3），令其为8可求a；当0＜a＜1时，求得两极值点，根据极值点在区间[1，3]内，在区间[1，3]外进行讨论，可求得f（x）在[1，3]上的最大值，令其为8可得a值，注意检验a的范围；

解答： 解：（1）f′（x）=3ax²-6x+3，其判别式△=36-36a=36（1-a），
∵a≥1，∴△≤0，对任意实数，f′（x）≥0恒成立，
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．
（2）当a≥1时，由（1）可知，f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
∴f（x）在[1，3]的最大值为f（3），由f（3）=8，解得 a=

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（不符合，舍去）；
当0＜a＜1时，△=36-36a=36（1-a）＞0，方程3ax²-6x+3=0的两根为x1=

1- 1-a

a

，x2=

1+ 1-a

a

，
f′（x）=3ax²-6x+3图象的对称轴x=

1

a

，
∵x₁-1=

1- 1-a

a

-1=

1-a ( 1-a -1)

a

＜0，∴0＜x1＜1＜

1

a

＜x2，
由x₂=3，解得 a=

5

9

，
①当0＜a＜

5

9

，x₂＞3，
∵f′（1）=3（a-1）＜0，f'（3）=3（9a-5）＜0，且f'（x）的图象开口向上，
∴x∈[1，3]时，f′（x）＜0，f（x）在[1，3]是减函数，f（x）在[1，3]的最大值y_max=f（1），
由f（1）=8，解得 a=8（不符合，舍去）．
②当

5

9

≤a＜1，x₂≤3，x∈[1，x₂]，f′（x）＜0，f（x）在[1，x₂]是减函数，当x∈[x₂，3]时，f′（x）＞0，f（x）在[x₂，3]是增函数．
∴f（x）在[1，3]的最大值f（1）或f（3），
由f（1）=8，f（3）=8，解得 a=8（不符合，舍去），a=

26

27

；
综上所述a=

26

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．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、求函数在闭区间上的最值等知识，考查分类讨论思想，考查学生解决问题的能力，当区间确定，而极值点不定时，要按照极值点在区间内、在区间外进行讨论，以确定最值．