Question

设a＞0且a∈Q，b=

a+2

a+1

．
（Ⅰ）证明：a≠b；
（Ⅱ）求证：在数轴上，

2

介于a与b之间，且距a较远；
（Ⅲ）在数轴上，a与b之间的距离是否可能为整数？若有，则求出这个整数；若没有，说明理由．

Answer 1

考点：不等式比较大小

专题：不等式的解法及应用

分析：（I）用反证法即可证明；
（II）利用已知只要证明（a-

2

）（b-

2

）＜0，就可以证明在数轴上，

2

介于a与b之间．
当a＜b，只要证明(

2

-a)-(b-

2

)＞0；当a＞b，只要证明(a-

2

)-(

2

-b)＞0即可．
（III）使用反证法：假设存在整数m为a与b之间的距离，不妨设a-b=m，m=a-b=

a2-2

a+1

，化为a²-2=m（a+1），利用求根公式解得a，只要证明不存在整数m满足a＞0即可．

解答： 证明：（Ⅰ）假设b=a，则a=

a+2

a+1

，化为a²=2，解得a=±

2

，这与a＞0且a∈Q相矛盾，
∴假设是错误的，
因此a≠b．
（Ⅱ）∵a＞0且a∈Q，b=

a+2

a+1

．
∴（a-

2

）（b-

2

）=(a-

2

)(

a+2

a+1

-

2

)=-

( 2 -1)(a- 2 )2

a+1

＜0，
∴

a- 2 ＜0 b- 2 ＞0

或

a- 2 ＞0 b- 2 ＜0

，
∴a＜

2

＜b或b＜

2

＜a．
∴在数轴上，

2

介于a与b之间．
若a＜b，则(

2

-a)-(b-

2

)=2

2

-a-

a+2

a+1

=-

(a- 2 +2)(a- 2 )

a+1

，
∵0＜a＜

2

，∴a-

2

＜0，a-

2

+2＞0，a+1＞0．
∴(

2

-a)-(b-

2

)＞0．
∴

2

距a较远；
当a＞b时，同理可证明．
（Ⅲ）假设存在整数m为a与b之间的距离，不妨设a-b=m，
则m=a-b=a-

a+2

a+1

=

a2-2

a+1

，∴a²-2=m（a+1），
化为a²-ma-m-2=0，解得a=

m± (m+2)2+4

2

，
∵a∈Q，∴只有m=-2时满足，∴a=

-2±2

2

，解得a=0或-2．这与a＞0矛盾．
∴在数轴上，a与b之间的距离不可能为整数．

点评：本题考查了反证法、一元二次不等式的解法、与实数（有理数）有关的问题，属于难题．