Question

已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

，
（1）判断函数f（x）的奇偶性，并给予证明；
（2）求证：方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）．

Answer 1

分析：（1）先求出函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义进行判定即可；
（2）先建立函数令g(x)=f(x)-lnx=

2x-1

2x+1

-lnx，计算g（1）与g（3）的值，利用根的存在性定理进行判定即可．

解答：证明：（1）函数f（x）的定义域为R，且f(x)=

2x-1

2x+1

，则f(-x)=

2-x-1

2-x+1

=

1-2x

2x+1

所以f（-x）=-f（x），所以f（x）是奇函数．（6分）
（2）令g(x)=f(x)-lnx=

2x-1

2x+1

-lnx，则函数y=g（x）在（1，3）连续．
因为g(1)=

21-1

21+1

-ln1=

1

3

＞0，g(3)=

23-1

23+1

-ln3=

7

9

-ln3＜0，
所以，方程f（x）-lnx=0至少有一根在区间（1，3）上．（12分）

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及函数奇偶性的判断，属于基础题．