Question

1．已知m是常数，对任意实数x，不等式|3x+1|+|2-3x|≥m恒成立
（1）求m的最大值；
（2）设a＞b＞0，求证：a+$\frac{4}{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}$≥b+m．

Answer 1

分析 （1）利用恒成立问题，只要求出|3x+1|+|2-3x|的最小值即可；
（2）对式子变形，利用基本不等式求a+$\frac{4}{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}$最小值即可．

解答 （1）解：对任意实数x，不等式|3x+1|+|2-3x|≥m恒成立，所以|x+$\frac{1}{3}$|+|x-$\frac{2}{3}$|_min=1≥$\frac{m}{3}$恒成立，所以m≤3，所以m的最大值为3；
（2）证明：a＞b＞0，a-b+$\frac{4}{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}$=$\frac{a-b}{2}+\frac{a-b}{2}+\frac{4}{（a-b）^{2}}≥$3$\root{3}{\frac{a-b}{2}•\frac{a-b}{2}•\frac{4}{（a-b）^{2}}}$=3，
所以a-b+$\frac{4}{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}$≥m，即a+$\frac{4}{{a}^{2}-2ab+{b}^{2}}$≥b+m．

点评 本题考查了不等式的恒成立问题以及利用基本不等式证明不等式，考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．