Question

5．设数列{a_n}的前n项和为S_n，且${S_n}={n^2}+2n$，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）用定义证明{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的关系即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）根据等差数列的定义进行证明即可．

解答 解：（Ⅰ）∵${S_n}={n^2}+2n$，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n²+2n-[（n-1）²+2（n-1）]=2n+1；
∵a₁=S₁=3满足a_n=2n+1，
∴a_n=2n+1；
（Ⅱ）∵a_n=2n+1，
∴a_n+1-a_n=2（n+1）+1-（2n+1）=2，
∴{a_n}是首项为3，公差为2的等差数列．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解以及等差数列的证明，利用n≥2时，a_n=S_n-S_n-1的关系是解决本题的关键．