Question

在实数集R中定义一种运算“*”，对任意给定的a，b∈R，a*b为唯一确定的实数且具有性质：
①对任意a，b∈R，a*b=b*a
②对任意a∈R，a*0=a
③对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）-2c
关于函数f（x）=e^x*e^-x的性质，有如下说法：
（1）函数f（x）的最小值为3
（2）函数f（x）为偶函数
（3）函数f′（x）在（-∞，+∞）上是增函数
其中正确说法的个数为（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,推理和证明

分析：根据新定义的运算表示出f（x）的解析式，然后逐项研究函数的性质即可作出判断．

解答： 解：在（3）中，令c=0，则f（x）=e^x*e^-x=1+e^x+e^-x，
①f（x）=1+e^x+e^-x≥1+2=3，当且仅当e^x=e^-x，即x=0时取等号，
∴f（x）的最大值为3，故①正确；
②∵f（-x）=1+e^-x+e^x=f（x），
∴f（x）为偶函数，故②正确；
③f'（x）=

e2x-1

ex

，
当x≤0时，f′（x）=

e2x-1

ex

≤0，
∴f（x）在（-∞，0]上单调递减，故③错误．
故正确说法的个数是2，
故选C．

点评：本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力．本题的关键是对f（x）的化简．