Question

已知等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，给出下列四个有关数列{a_n}的命题：
p₁：如果a₁＞0且q＞1，那么数列{a_n}是递增的等比数列；
p₂：如果a₁＜0且q＜1，那么数列{a_n}是递减的等比数列；
p₃：如果a₁＜0且0＜q＜1，那么数列{a_n}是递增的等比数列；
p₄：如果a₁＞0且0＜q＜1，那么数列{a_n}是递减的等比数列．
其中为真命题的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：由命题的条件可得数列项的正负，可得

an+1

an

=q的范围，由不等式的性质可判a_n+1与a_n的大小关系可得数列的单调性．

解答：解：p₁：当a₁＞0且q＞1时，a_n＞0
可得

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q＞1，即a_n+1＞a_n，
∴数列{a_n}是递增的等比数列，故为真命题；
p₂：当a₁＜0且q＜1时，不妨取a₁=-1，q=-1，
可得数列为摆动数列，故为假命题；
p₃：当a₁＜0且0＜q＜1时，a_n＜0
可得

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q＜1，即a_n+1＞a_n，
∴数列{a_n}是递增的等比数列，故为真命题；
p₄：当a₁＞0且0＜q＜1时，a_n＞0
可得

an+1

an

=

a1qn

a1qn-1

=q＜1，即a_n+1＜a_n，
∴数列{a_n}是递减的等比数列，故为真命题；
故选：C

点评：本题考查等比数列的增减性，涉及不等式的性质的应用，属基础题．