Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：（1-

1

a12

）（1-

1

a22

）…（1-

1

an2

）＞

2

3

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和,不等式的证明

专题：计算题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）根据a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），再写一式，两式相减，化简可得{S_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列，求出S_n=2ⁿ⁺¹-2，即可得到结论；
（2）求出1-

1

an2

，再运用放缩法，不等式左边＞1-（

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

），再由等比数列的求和公式，即可得证．

解答： 解：（1）∵a₁+2a₂+3a₃+…+na_n=（n-1）S_n+2n（n∈N^*），①
∴当n≥2时，a₁+2a₂+3a₃+…+（n-1）a_n-1=（n-2）S_n-1+2（n-1）．②
①-②得na_n=（n-1）S_n-（n-2）S_n-1+2，
∴na_n=n（S_n-S_n-1）-S_n+2S_n-1+2，
∴na_n=na_n-S_n+2S_n-1+2．
∴-S_n+2S_n-1+2=0，即S_n=2S_n-1+2，
∴S_n+2=2（S_n-1+2）．
∵S₁+2=4≠0，∴S_n-1+2≠0，
∴{S_n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．
∴S_n+2=2ⁿ⁺¹，∴S_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，
n=1时，a₁=S₁=2，也满足上式，
∴a_n=2ⁿ；
（2）∵1-

1

an2

=1-

1

(2n)2

=1-

1

4n

，
∴（1-

1

a12

）（1-

1

a22

）…（1-

1

an2

）=（1-

1

4

）（1-

1

42

）…（1-

1

4n

）
＞1-（

1

4

+

1

42

+…+

1

4n

）=1-

1 4 (1- 1 4n )

1- 1 4

=1-

1

3

（1-

1

4n

）=

2

3

+

1

3

•

1

4n

＞

2

3

．
∴（1-

1

a12

）（1-

1

a22

）…（1-

1

an2

）＞

2

3

．

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的通项公式和求和公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．