Question

数列{a_n}（n∈N^*）的前n项和S_n满足S_n=n²+2n+1．
（1）求a_n；
（2）设b_n=a_n•2ⁿ（n∈N^*）的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据当n=1时a₁=S₁，n≥2时a_n=S_n-S_n-1，代入S_n=n²+2n+1化简求出a_n；
（2）由（1）和条件求出b_n，对n进行分类讨论后，利用错位相减法求出前n项和为T_n．

解答： 解：（1）①当n=1时，a₁=S₁=1+2+1=4；
②当n∈N^*且n≥2时，an=Sn-Sn-1=(n2+2n+1)-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1
∴an=

4 2n+1

(n=1) (n≥2)

（2）由（1）得，b_n=a_n•2ⁿ=

8，n=1 (2n+1)•22，n≥2

，
①当n=1时，T₁=8；当n=2时，T₂=28；
②当n∈N^*且n≥3时，T_n=a1•21+a2•22+a3•23+…+an-1•2n-1+an•2n
∴2•T_n=a1•22+a2•23+a3•24+…+an-1•2n+an•2n+1
∴（-1）•T_n=a1•21+(a2-a1)•22+(a3-a2)•23+(a4-a3)•24+…+(an-an-1)•2n-an•2n+1
∴（-1）•T_n=8+2²+2•2³+2•2⁴+…+2•2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹=8+2²+2•（2³+2⁴+…+2ⁿ）-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=12+2•

23(1-2n-2)

1-2

-(2n+1)•2n+1=12+2ⁿ⁺²-2⁴-n•2ⁿ⁺²-2ⁿ⁺¹
∴Tn=n•2n+2-2n+1+4
由①②得，Tn=n•2n+2-2n+1+4（n∈N^*）．

点评：本题考查了数列S_n与a_n的关系式，以及错位相减法求数列的前n项和，考查计算化简能力．