Question

若函数f（x）=4^x+（m-3）2^x+m有两个零点，求m的取值范围．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：设t=2^x，利用换元法将函数转化为g（t）=t²+（m-3）t+m有两个大于的零点，利用一元二次函数的性质即可得到结论．

解答： 解：设t=2^x，则t＞0，则条件等价为g（t）=t²+（m-3）t+m有两个大于的零点，
则

△=(m-3)2-4m≥0 g(0)＞0 - m-3 2 ＞0

，
即

m2-10m+9≥0 m＞0 m＜3

，则

m≥9或m≤1 m＞0 m＜3

，
解得0＜m≤1，
即m的取值范围是（0，1]．

点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用换元法，集合指数函数和一元二次函数的性质是解决本题的关键．