Question

【题目】已知椭圆C1： + =1（a＞0，b＞0）的离心率为 ，其右焦点到直线2ax+by﹣ =0的距离为 ．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）过点P（0，﹣ ）的直线l交椭圆C1于A，B两点．
①证明：线段AB的中点G恒在椭圆C2： + =1的内部；
②判断以AB为直径的圆是否恒过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由椭圆C1： + =1（a＞b≥1）的离心率 ，

其右焦点到直线2ax+by﹣ =0的距离为 ，

可得e= = ，a2﹣b2=c2， = ，

解得a= ，b=c=1，

则椭圆C1的方程为 +y2=1

（2）解：①证明：椭圆C2的方程为 +x2=1，

当直线l垂直于x轴时，AB的中点为（0，﹣ ）在椭圆C2内部．

当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y=kx﹣ ，代入 +y2=1，

并整理，得（1+2k2）x2﹣ kx﹣ =0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2= ，

即有y1+y2=k（x1+x2）﹣ =﹣ ，

可得G（ ，﹣ ），

由 + =

= ＜1恒成立，

故点G恒在椭圆C2内部；

②当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，

当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+（y+ ）2= ，

由 ，得 ，

由此可知若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（0，1），

下面证明Q（0，1）适合题意．

由①知：x1+x2= ，x1x2=﹣ ，

可得 =（x1，y1﹣1）（x2，y2﹣1）=x1x2+（y1﹣1）（y2﹣1）

=x1x2+（kx1﹣ ）（kx2﹣ ）=（1+k2）x1x2﹣ k（x1+x2）+

=（1+k2）（﹣ ）﹣ k + =

=0，

即有 ⊥ ，即Q（0，1）在以AB为直径的圆上．

综上，以AB为直径的圆恒过定点（0，1）

【解析】（1）由椭圆的离心率 ，其右焦点到直线2ax+by﹣ =0的距离为 ，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C1的方程；（2）①椭圆C2的方程为 +x2=1，设直线l方程为y=kx﹣ ，代入 +y2=1，得（1+2k2）x2﹣ kx﹣ =0．由此利用韦达定理能证明点G恒在椭圆C2内部；②当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2+（y+ ）2= ，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q（0，1），再证明Q（0，1）适合题意，从而以AB为直径的圆恒过定点（0，1）