Question

18．（1）设k，n∈N^*，k≤n，求证：kC${\;}_{n}^{k}$=nC${\;}_{n-1}^{k-1}$；
（2）设n∈N^*，n≥2，x∈R．
①求证：$\sum_{k=0}^{n}$（k+1）C${\;}_{n}^{k}$x^k（1-x）^n-k=nx+1；
②求函数f（x）=$\sum_{k=0}^{n}$k${\;}^{2}{C}_{n}^{k}$x^k（1-x）^n-k的零点．

Answer 1

分析 （1）由条件利用组合数的性质以及计算公式，证得kC${\;}_{n}^{k}$=nC${\;}_{n-1}^{k-1}$ 成立．
（2）由条件利用组合数的性质化简函数的解析式，再利用函数零点的定义求出函数f（x）=$\sum_{k=0}^{n}$k${\;}^{2}{C}_{n}^{k}$x^k（1-x）^n-k的零点．

解答 （1）证明：∵kC${\;}_{n}^{k}$=k•$\frac{n!}{（n-k）!k!}$=$\frac{n!}{（n-k）!•（k-1）!}$，又nC${\;}_{n-1}^{k-1}$=n•$\frac{（n-1）!}{（k-1）!•（n-k）!}$=$\frac{n!}{（n-k）!•（k-1）!}$，
∴kC${\;}_{n}^{k}$=nC${\;}_{n-1}^{k-1}$ 成立．
（2）①∵n∈N^*，n≥2，x∈R时，$\sum_{k=0}^{n}$（k+1）C${\;}_{n}^{k}$x^k（1-x）^n-k=$\sum_{k=1}^{n}k{•C}_{n}^{k}{•x}^{k}{•（1-x）}^{n-k}$+$\sum_{k=1}^{n}$•${C}_{n}^{k}$•x^k•（1-x）^n-k，
=$\sum_{k=1}^{n}$•n•${C}_{n-1}^{k-1}$•x^k•（1-x）^n-k+[（1-x）+x]ⁿ=nx•$\sum_{k=1}^{n}$•n•${C}_{n-1}^{k-1}$•x^k-1•（1-x）^n-k+1=nx[（1-x）+x]^n-1+1=nx+1，
∴$\sum_{k=0}^{n}$（k+1）C${\;}_{n}^{k}$x^k（1-x）^n-k=nx+1成立．
②函数f（x）=$\sum_{k=0}^{n}$k${\;}^{2}{C}_{n}^{k}$x^k（1-x）^n-k=$\sum_{k=0}^{n}$ k•k${C}_{n}^{k}$•x^k（1-x）^n-k=$\sum_{k=1}^{n}$ k•n•${C}_{n-1}^{k-1}$•x^k（1-x）^n-k
=n$\sum_{k=1}^{n}$（k-1+1）•${C}_{n-1}^{k-1}$•x^k（1-x）^n-k =n$\sum_{k=1}^{n}$（k-1）•${C}_{n-1}^{k-1}$•x^k（1-x）^n-k+n$\sum_{k=1}^{n}$•${C}_{n-1}^{k-1}$•x^k（1-x）^n-k
=n$\sum_{k=1}^{n}$（n-1）•${C}_{n-2}^{k-2}$•x^k（1-x）^n-k +nx$\sum_{k=1}^{n}$•${C}_{n-1}^{k-1}$•x^k-1（1-x）^n-k ，
=n（n-1）x²•$\sum_{k=2}^{n}$•${C}_{n-2}^{k-2}$•x^k-2（1-x）^n-k +nx$\sum_{k=1}^{n}$•${C}_{n-1}^{k-1}$•x^k（1-x）^n-k =
=n（n-1）x²•[（1-x）+x]^n-2+nx[（1-x）+x]^n-1=n（n-1）x²+nx，
令f（x）=0，求得x=0，或x=$\frac{1}{1-n}$，
故函数f（x）的零点为9或$\frac{1}{1-n}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，组合数的性质以及组合数的试算公式，属于中档题．