Question

已知数列的前n项和（n为正整数）。

（Ⅰ）令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）令，试比较与的大小，并予以证明。

 

Answer 1

【答案】

(1) 数列是首项和公差均为1的等差数列,  

(2) 当,当时

【解析】

试题分析：(I)在中,令n=1,可得,即

当时,,

.

 

又数列是首项和公差均为1的等差数列.

于是.

(II)由(I)得,所以

由①-②得

于是确定的大小关系等价于比较的大小由           可猜想当证明如下:

证法1:(1)当n=3时,由上验算显示成立。

(2)假设时

所以当时猜想也成立

综合(1)(2)可知 ,对一切的正整数,都有

证法2:当时

综上所述,当,当时

考点：数列的通项公式和求和，数学归纳法

点评：解决该试题的关键是能熟练的结合通项公式与前n项和的关系来得到通项公式，并运用数学归纳法来证明。属于中档题。