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已知函数f(x)=
2
x
-xm
,且f(4)=-
7
2

(1)求m的值;     
(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明;
(3)求函数f(x)在区间[-5,-1]上的最值.
分析:(1)由f(4)=-
7
2
代入可求m
(2)先设0<x1<x2,利用作差可得f(x2)-f(x1)=(
2
x2
-x2)-(
2
x1
-x1)=(
2
x2
-
2
x1
)+(x1-x2)
=(x1-x2)(1+
2
x2x1
)
,根据已知判断比较f(x2)与f(x1)即可
(3)由(1)知:函数f(x)=
2
x
-x
,其定义域为{x|x≠0}.且可证函数f(x)为奇函数.结合(2)知f(x)在[1,5]上为减函数,则根据奇函数的性质可知函数f(x)在区间[-5,-1]上为减函数.结合函数单调性可求
解答:解:(1)由f(4)=-
7
2
得:
2
4
-4m=-
7
2

即:4m=4,解得:m=1;…(2分)
(2)函数f(x)在(0,+∞)上为减函数.…(3分)
证明:设0<x1<x2
f(x2)-f(x1)=(
2
x2
-x2)-(
2
x1
-x1)=(
2
x2
-
2
x1
)+(x1-x2)
=(x1-x2)(1+
2
x2x1
)
;…(5分)
∵0<x1<x2
(x1-x2)(1+
2
x2x1
)<0

即f(x2)-f(x1)<0,
∴f(x2)<f(x1),
∴f(x)在(0,+∞)上为减函数.…(7分)
(3)由(1)知:函数f(x)=
2
x
-x
,其定义域为{x|x≠0}.…(8分)
f(-x)=
2
-x
-(-x)=-(
2
x
-x)=-f(x)
,即函数f(x)为奇函数.…(9分)
由(2)知:f(x)在[1,5]上为减函数,则函数f(x)在区间[-5,-1]上为减函数.…(10分)
∴当x=-5时,f(x)取得最大值,最大值为f(-5)=-
2
5
+5=
23
5

当x=-1时,f(x)取得最小值,最小值为f(-1)=-2+1=-1.…(12分)
(其他解法请参照给分)
点评:本题主要考查了定义法证明函数的单调性,一般步骤是①设量②作差③定号④给出结论;还考查了奇函数的性质:奇函数对称区间上单调性相同,及利用函数的单调性求解函数在区间上的最值.
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2-xx+1

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x
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3
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2-2cosx
+
2-2cos(
3
-x)
,x∈[0,2π],则当x=
3
3
时,函数f(x)有最大值,最大值为
2
3
2
3

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