Question

17．在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，M、N分别是SA，BD上的点．
①若$\frac{SM}{MA}$=$\frac{DN}{NB}$，则MN∥面SCD；
②若$\frac{SM}{MA}$=$\frac{NB}{DN}$，则MN∥面SCB；
③若面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，则SD⊥面ABCD．其中正确的命题个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 在①和②中，过M作MH∥SD，交AD于H，连结HN，由条件能推导出平面MNH∥平面SDC，从而得到MN∥面SCD；在③中，由面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，平面SDA∩平面SDB=SD，得到SD⊥面ABCD．

解答 解：在①中，过M作MH∥SD，交AD于H，连结HN，
∵在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
M、N分别是SA，BD上的点，$\frac{SM}{MA}$=$\frac{DN}{NB}$，
∴NH∥CD，
∵MH∩MN=M，SD∩DC=D，MH，MN?平面MNH，
SD，CD?平面SDC，
∴平面MNH∥平面SDC，
∵MN?平面MNH，∴MN∥面SCD，故①正确；
在②中，过M作MH∥SD，交AD于H，连结HN，
∵在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，
M、N分别是SA，BD上的点，$\frac{SM}{MA}$=$\frac{NB}{DN}$，
∴∴NH∥CD，
∵MH∩MN=M，SD∩DC=D，MH，MN?平面MNH，SD，CD?平面SDC，
∴平面MNH∥平面SDC，
∵MN?平面MNH，∴MN∥面SCD，故②正确；
在③中，∵面SDA⊥面ABCD，且面SDB⊥面ABCD，
平面SDA∩平面SDB=SD，∴SD⊥面ABCD，故③正确．
故选：D．

点评 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．