Question

5．设S_n为数列{a_n}前n项和，S₁=1且a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$（n≥2）．
（1）证明：{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）当n=1时，S₁=1，$\frac{1}{{S}_{1}}$=1；当n≥2时，化简可得S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，从而证明；
（2）由（1）知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2n-1，从而可得S_n=$\frac{1}{2n-1}$，从而求得当n≥2时a_n=$\frac{2}{（2n-1）（3-2n）}$，再检验n=1时即可．

解答 解：（1）证明：当n=1时，S₁=1，$\frac{1}{{S}_{1}}$=1；
当n≥2时，∵a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，
∴S_n-S_n-1=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$，
∴S_n-S_n-1=-2S_nS_n-1，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=2，
故{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是以1为首项，2为公差的等差数列；
（2）由（1）知，$\frac{1}{{S}_{n}}$=2n-1，
故S_n=$\frac{1}{2n-1}$，
当n≥2时，a_n=$\frac{2{{S}_{n}}^{2}}{2{S}_{n}-1}$=$\frac{2}{（2n-1）（3-2n）}$，
当n=1时，上式不成立；
故a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{\frac{2}{（2n-1）（3-2n）}，n≥2}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了学生的化简运算能力及分类讨论的思想应用，同时考查了等差数列的判断．