Question

10．已知平面区城D由不等式组$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤3}\\{0≤y≤4}\\{x-y≤0}\end{array}\right.$确定，M（x，y）为平面区域D内的任意一点，另有一定点A（4，-2），则$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{AM}$的最小值为-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 令z=$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{AM}$=（x，y）•（x-4，y+2）=（x-2）²+（y+1）²-5，从而化简可得z+5=（x-2）²+（y+1）²，作平面区域，从而利用数形结合求解即可．

解答 解：令z=$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{AM}$=（x，y）•（x-4，y+2）=（x-2）²+（y+1）²-5，
故z+5=（x-2）²+（y+1）²，
由题意作平面区域如下，
，
（x-2）²+（y+1）²表示了点A（2，-1）与阴影内的点的距离的平方，
故d_min=$\frac{|2+1|}{\sqrt{2}}$，故d²=$\frac{9}{2}$，
故$\overrightarrow{OM}$$•\overrightarrow{AM}$的最小值为$\frac{9}{2}$-5=-$\frac{1}{2}$，
故答案为：-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积及线性规划的变形应用，同时考查了数形结合的思想应用．