Question

15．设数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意正整数n，3a_n-2S_n=2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求证：S_n+2S_n＜${S}_{n+1}^{2}$．

Answer 1

分析 （I）对任意正整数n，3a_n-2S_n=2，可得3a₁-2a₁=2，解得a₁．当n≥2时，3a_n-1-2S_n-1=2，可得a_n=3a_n-1，利用等比数列的通项公式即可得出．（2）证明：由（I）可得：S_n=3ⁿ-1．作差代入S_n+2S_n-${S}_{n+1}^{2}$＜0，即可证明．＜${S}_{n+1}^{2}$．

解答 （I）解：∵对任意正整数n，3a_n-2S_n=2，∴3a₁-2a₁=2，解得a₁=2．
当n≥2时，3a_n-1-2S_n-1=2，可得3a_n-3a_n-1-2a_n=0，化为a_n=3a_n-1，
∴数列{a_n}是等比数列，公比为3，首项为2．
∴a_n=2×3^n-1．
（2）证明：由（I）可得：S_n=$\frac{2（{3}^{n}-1）}{3-1}$=3ⁿ-1．
∴S_n+2S_n-${S}_{n+1}^{2}$=（3ⁿ⁺²-1）（3ⁿ-1）-（3ⁿ⁺¹-1）²=-4×3ⁿ＜0，
∴S_n+2S_n＜${S}_{n+1}^{2}$．

点评 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．