Question

【题目】已知椭圆（）的右焦点为，左右顶点分别为、，，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于、点，直线与轴的交点为，与直线的交点为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若，求出点的坐标；

（3）求证：、、三点共线.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) 或；(3)证明见解析

【解析】

(1)根据题意可得，再根据椭圆中基本量的关系求解椭圆的方程即可.

(2)根据平行的性质可得，进而可得相似比，再设利用以及在椭圆上求解坐标即可.

(3)设直线的方程为，再联立椭圆的方程，设，再根据共线可得的坐标表达式，再代入韦达定理证明即可.

(1)由题，，，故圆的方程为

(2)当时，易得，且相似比为,故.

设，则，即，解得.

将代入代入可得，故.

故或

(3)显然直线的斜率不为0，故设直线的方程为，.

联立有，得，故.

设，因为共线，故.

又直线的斜率，直线的斜率.

若、、三点共线则，即，化简得，代入韦达定理显然成立.

故成立，故、、三点共线.