Question

18．如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2，E为AA₁的中点，O是BD₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面A₁BD₁⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求证：EO∥平面ABCD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，因为 A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，A₁D₁?平面A₁BD₁，利用面面垂直的性质推断出平面A₁BD₁⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）连接BD，AC，设BD∩AC=G，连接0G．证明四边形AGOE是平行四边形，所以OE∥AG，又因为EO?平面ABCD，AG?平面ABCD．所以EO∥平面ABCD．

解答 证明：（Ⅰ）在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁D₁⊥平面ABB₁A₁，A₁D₁?平面A₁BD₁，
∴平面A₁BD₁⊥平面ABB₁A₁．
（Ⅱ）连接BD，AC，设BD∩AC=G，连接0G．

∵ABCD-A₁B₁C₁D₁为正方体，
∴AE∥DD₁，且AE=$\frac{1}{2}$DD₁，且G是BD的中点，
又因为O是BD₁的中点，
∴OG∥DD₁，且OG=$\frac{1}{2}$DD₁，
∴OG∥AE，且OG=AE，
即四边形AGOE是平行四边形，
所以OE∥AG，
又∵EO?平面ABCD，AG?平面ABCD，
所以EO∥平面ABCD．

点评 本题主要考查了线面平行，线面垂直的判定定理．考查了学生分析推理的能力．