Question

8．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$
（Ⅰ）求角A
（Ⅱ）若${\overrightarrow{AB}^2}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}-{\overrightarrow{BC}^2}=4$，求a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，又sinB≠0，从而可求tanA，由于0＜A＜π，即可解得A的值．
（Ⅱ）利用平面向量数量积的运算和余弦定理化简已知等式可得bc=8，利用余弦定理及基本不等式即可求得a的最小值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）因为$asinB-\sqrt{3}bcosA=0$，
由正弦定理，得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinBcosA，
又sinB≠0，从而tanA=$\sqrt{3}$，
由于0＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．…4分
（Ⅱ）由题意可得：${\overrightarrow{AB}}^{2}+\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{BC}-{\overrightarrow{BC}}^{2}$
=${\overrightarrow{AB}}^{2}$+$\overrightarrow{AC}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$）-${\overrightarrow{BC}}^{2}$
=${\overrightarrow{AB}}^{2}$+${\overrightarrow{AC}}^{2}$-$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$-${\overrightarrow{BC}}^{2}$
=c²+b²-bccosA-a²
=2bccosA-bccosA
=$\frac{1}{2}$bc=4，
∵bc=8，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc≥2bc-bc=bc=8，
∴a≥2，$\sqrt{2}$
∴a的最小值为$2\sqrt{2}$．…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，属于基本知识的考查．