Question

13．已知向量$\overrightarrow{OP}$=（2cosx+1，cos2x-sinx+1），$\overrightarrow{OQ}$=（cosx，-1），定义f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换求得f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），从而利用周期公式得到它的最小正周期．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得f（x）的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$
=cosx（2cosx+1）-（cos2x-sinx+1）
=2cos²x+cosx-cos2x+sinx-1
=cosx+sinx
=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）最小正周期为$\frac{2π}{1}$=2π．
（2）∵f（x）=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴当sin（x+$\frac{π}{4}$）=1时，f（x）取得最大值为$\sqrt{2}$；
当sin（x+$\frac{π}{4}$）=-1时，f（x）取得最小值为-$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积公式，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．