Question

已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，角B所对的边b=

3

，且函数f（x）=2

3

sin²x+2sinxcosx一

3

在x=A处取得最大值．
（1）求函数f（x）的值域及周期；
（2）求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由△ABC的三个内角A，B，C成等差数列求得B=

π

3

，A+C=

2π

3

．化简函数f（x）的解析式为sin（2x-

π

3

），由正弦函数的定义域和值域可得函数
f（x）的值域为[-2，2]，且最小正周期为

2π

2

．
（2）由于sin（2A-

π

3

）=1，可得 2A-

π

3

=

π

2

，A=

5π

12

，故C=

π

4

．再由正弦定理求得c=

2

，从而求得△ABC的面积为

1

2

bc•sinA 的值．

解答：解：（1）△ABC的边b=

3

，它的三个内角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，再由三角形的内角和公式求得B=

π

3

，A+C=

2π

3

．
又函数f（x）=2

3

sin²x+2sinxcosx一

3

=2

3

•

1-cos2x

2

+sin2x-

3

=-

3

cos2x+sin2x=sin（2x-

π

3

），
故有正弦函数的定义域和值域可得函数f（x）的值域为[-2，2]，且最小正周期为

2π

2

=π．
（2）由于函数f（x）在x=A处取得最大值，故有sin（2A-

π

3

）=1，∴2A-

π

3

=

π

2

，A=

5π

12

，故C=

π

4

．
再由正弦定理可得

3

sin π 3

=

c

sin π 4

，求得c=

2

，∴△ABC的面积为

1

2

bc•sinA=

1

2

×

3

×

2

×sin（

π

4

+

π

6

）
=

6

2

（

2

2

×

3

2

+

2

2

×

1

2

）=

3+ 3

4

．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的定义域和值域、三角函数的周期性及求法，属于中档题．