Question

17．若公比为q的等比数列{a_n}的首项a₁=1，且满足a_n=$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n-2}}{2}$，（n=3，4，5…）
（1）求q的值；
（2）设b_n=n•a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （1）运用等比数列的通项公式，化简整理即可得到；
（2）讨论公比q，由等差数列的求和公式和错位相减法，即可得到所求．

解答 解：（1）首项a₁=1，a_n=$\frac{{a}_{n-1}+{a}_{n-2}}{2}$，
可得2q^n-1=q^n-2+q^n-3，
即为2q²-q-1=0，解得q=1或-$\frac{1}{2}$；
（2）当q=1时，b_n=n•a_n=n，
前n项和S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）；
当q=-$\frac{1}{2}$，b_n=n•a_n=n•（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
S_n=1+2•（-$\frac{1}{2}$）+3•（-$\frac{1}{2}$）²+…+n•（-$\frac{1}{2}$）^n-1，
-$\frac{1}{2}$S_n=1•（-$\frac{1}{2}$）+2•（-$\frac{1}{2}$）²+3•（-$\frac{1}{2}$）³+…+n•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
相减可得$\frac{3}{2}$S_n=1+（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）²+…+（-$\frac{1}{2}$）^n-1-n•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ
=$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{1-（-\frac{1}{2}）}$-n•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ，
化简可得S_n=$\frac{4}{9}$-$\frac{4+6n}{9}$•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ．
综上可得，q=1时，S_n=$\frac{1}{2}$n（n+1）；
q=-$\frac{1}{2}$，S_n=$\frac{4}{9}$-$\frac{4+6n}{9}$•（-$\frac{1}{2}$）ⁿ．

点评 本题考查等比数列的通项公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．